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Ist Z2 ein Körper?
Bezeichnung: Das Element b ∈ G mit b a = a b = e wird mit a−1 (bzw. mit −a, falls = +) bezeichnet. Beispiel: (R,+,·),(Q,+,·),(C,+,·) sind Körper. (Z,+,·) ist kein Körper (z.B. besitzt 2 in Z kein multiplikatives Inverses).
Sind die Gruppen Z2 Z3 und Z6 isomorph?
Ist sie isomorph zu Z6? Lösung. Ja, sie ist isomorph: Es ist Z2 × Z3 = 〈(1, 0), (0, 1)〉.
Sind abelsche Gruppen zyklisch?
Jede zyklische Gruppe ist Abelsch. Es gibt aber Abelsche Gruppen, die nicht zyklisch sind. Beispiel: Kleinsche Vierergruppe.
Sind die Gruppen Z 4Z und z 2Z z 2Z isomorph?
Da in diesen Gruppen kein Element der Ordnung 4 existiert, enthält Z ∗ Z/2Z kein Element der Ordnung 4. Folglich sind Z/4Z∗Z und Z∗Z/2Z nicht zueinander isomorph.
Sind P Gruppen zyklisch?
Elementar abelsche Gruppen sind also spezielle abelsche p-Gruppen. Eine endliche Gruppe G ist genau dann elementar abelsch, wenn eine Primzahl p existiert, so dass G ein endliches (inneres) direktes Produkt von zyklischen Untergruppen der Ordnung p ist.
Wann ist eine Gruppe nicht zyklisch?
Für d ≥ 3 ist die Gruppe (Z/2d)∗ nicht zyklisch. Beweis: Die Gruppe G = (Z/2d)∗ hat die Ordnung φ(2d)=2d−1. Die Elemente von G sind die Restklassen a mit a ∈ Z ungerade — alle diese Elemente haben als Ordnung einen Teiler von 2d−2.
Wann ist eine Gruppe isomorph?
Zwei Gruppen (G,◦) und (H,) sind isomorph (zueinander), falls es eine Permutation π : G → H gibt, so dass a,b ∈ G gilt: π(a ◦ b) = π(a) π(b). In diesem Fall bezeichnen wir π als Isomorphismus von (G,◦) und (H,).
Sind P Gruppen Abelsch?
Eine beliebige Gruppe heißt elementar abelsche Gruppe, wenn jedes Gruppenelement (außer dem neutralen Element) die Ordnung p hat (p Primzahl) und ihre Verknüpfung kommutativ ist. Elementar abelsche Gruppen sind also spezielle abelsche p-Gruppen. Der Begriff wird meistens für endliche Gruppen gebraucht.
Sind endliche Gruppen immer zyklisch?
Elementen. Allgemeiner ist jede endliche Untergruppe der multiplikativen Gruppe eines Körpers zyklisch.